高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

時間：2024-11-20 13:54:51

　　漫長的學(xué)習(xí)生涯中，說起知識點，應(yīng)該沒有人不熟悉吧？知識點就是“讓別人看完能理解”或者“通過練習(xí)我能掌握”的內(nèi)容。還在為沒有系統(tǒng)的知識點而發(fā)愁嗎？以下是小編精心整理的高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)，希望對大家有所幫助。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

　　高一數(shù)學(xué)知識總結(jié) 1

　　一、集合的含義

　　集合的中元素的三個特性：

　　（1）元素的確定性如：世界上最高的山

　　（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y}

　　（3）元素的無序性: 如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合

　　3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

　　（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意：常用數(shù)集及其記法：

　　非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

　　正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R

　　列舉法：{a，b，c……}

　　描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ，{x| x-3>2}

　　語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　Venn圖:

　　4、集合的分類：

　　有限集含有有限個元素的集合

　　無限集含有無限個元素的集合

　　空集不含任何元素的集合　　例：{x|x²=－5｝

　　二、集合間的基本關(guān)系

　　1.“包含”關(guān)系—子集

　　注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

　　反之: 集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA

　　2．“相等”關(guān)系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)

　　實例：設(shè) A={x|x²-1=0} B={-1，1} “元素相同則兩集合相等”

　　即：① 任何一個集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB，且A≠ B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

　　③如果 AB， BC ，那么 AC

　　④ 如果AB 同時 BA 那么A=B

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規(guī)定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　有n個元素的集合，含有2ⁿ個子集，2^n-1個真子集

　　二、函數(shù)

　　1、函數(shù)定義域、值域求法綜合

　　2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問題的解題策略

　　3、恒成立問題的求解策略

　　4、反函數(shù)的幾種題型及方法

　　5、二次函數(shù)根的問題——一題多解

　　&指數(shù)函數(shù)y=a^x

　　a^a*a^b=a^a+b(a>0，a、b屬于Q)

　　(a^a)^b=a^ab(a>0，a、b屬于Q)

　　(ab)^a=a^a*b^a(a>0，a、b屬于Q)

　　指數(shù)函數(shù)對稱規(guī)律：

　　1、函數(shù)y=a^x與y=a^-x關(guān)于y軸對稱

　　2、函數(shù)y=a^x與y=-a^x關(guān)于x軸對稱

　　3、函數(shù)y=a^x與y=-a^-x關(guān)于坐標原點對稱

　　冪函數(shù)y=x^a(a屬于R)

　　1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)

　　2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納。

　　（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；

　　（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；

　　（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)。在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸。

　　方程的根與函數(shù)的零點

　　1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

　　2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。

　　即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．

　　3、函數(shù)零點的求法：

　　（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；

　　（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．

　　4、二次函數(shù)的零點：

　　二次函數(shù)．

　　（1）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．

　　（2）△＝０，方程有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．

　　（3）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點。

　　三、平面向量

　　已知兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

　　對于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。

　　|a＋b|≤|a|＋|b|。

　　向量的加法滿足所有的加法運算定律。

　　數(shù)乘運算

　　實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa|λa|＝|λ||a|，當λ > 0時，λa的方向和a的方向相同，當λ < 0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa = 0。

　　設(shè)λ、μ是實數(shù)，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

　　向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。

　　向量的數(shù)量積

　　已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是a與b的夾角|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。

　　a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。

　　兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和。

　　四、三角函數(shù)

　　1、善于用“1“巧解題

　　2、三角問題的非三角化解題策略

　　3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法

　　4、三角函數(shù)向量綜合題例析

　　5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

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　　指數(shù)函數(shù)

　　(1)指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

　　(2)指數(shù)函數(shù)的值域為大于0的實數(shù)集合。

　　(3)函數(shù)圖形都是下凹的。

　　(4)a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增;a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

　　(5)可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

　　(6)函數(shù)總是在某一個方向上無限趨向于X軸，永不相交。

　　(7)函數(shù)總是通過(0，1)這點。

　　(8)顯然指數(shù)函數(shù)。

　　反比例函數(shù)

　　形如y=k/x(k為常數(shù)且k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。

　　反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：

　　反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

　　由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x)，圖像關(guān)于原點對稱。

　　另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　k分別為正和負(2和-2)時的函數(shù)圖像。

　　當K>0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過一，三象限，是減函數(shù)

　　當K<0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過二，四象限，是增函數(shù)

　　反比例函數(shù)圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

　　知識點：

　　1.過反比例函數(shù)圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

　　2.對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(shù)(即y=k/(x±m(xù))m為常數(shù))，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數(shù)時向左平移，減一個數(shù)時向右平移)

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　　一、函數(shù)的概念與表示

　　1、映射

　　（1）映射：設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，則這樣的對應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。

　　注意點：

　　（1）對映射定義的理解。

　　（2）判斷一個對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射

　　2、函數(shù)

　　構(gòu)成函數(shù)概念的三要素

　　①定義域②對應(yīng)法則③值域

　　兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件：三要素有兩個相同

　　二、函數(shù)的解析式與定義域

　　1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

　　（1）分式的分母不為零；

　　（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；

　　（3）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；

　　（4）指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；

　　三、函數(shù)的值域

　　1求函數(shù)值域的方法

　　①直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f（x）的取值范圍，適合于簡單的復(fù)合函數(shù)；

　　②換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；

　　③判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分母為二次且∈R的分式；

　　④分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x有范圍限制時要畫圖）；

　　⑤單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；

　　⑥圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域；

　　⑦利用對號函數(shù)

　　⑧幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)

　　四。函數(shù)的奇偶性

　　1、定義：設(shè)y=f（x），x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f（x）為偶函數(shù)。

　　如果對于任意∈A，都有，則稱y=f（x）為奇

　　函數(shù)。

　　2、性質(zhì)：

　　①y=f（x）是偶函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于軸對稱，y=f（x）是奇函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，②若函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，則f（0）=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1，D2，D1∩D2要關(guān)于原點對稱]

　　3。奇偶性的判斷

　　①看定義域是否關(guān)于原點對稱②看f（x）與f（—x）的關(guān)系

　　五、函數(shù)的單調(diào)性

　　1、函數(shù)單調(diào)性的定義：

　　2、設(shè)是定義在M上的函數(shù)，若f（x）與g（x）的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù)；若f（x）與g（x）的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。

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　　1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

　　(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

　　平行，由這些面所圍成的幾何體。

　　分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDE?ABCDE或用對角線的端點字母，如五棱柱AD

　　幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平

　　行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

　　(2)棱錐

　　定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

　　表示：用各頂點字母，如五棱錐P?ABCDE

　　幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離

　　與高的比的平方。

　　(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

　　分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

　　表示：用各頂點字母，如五棱臺P?ABCDE

　　幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點

　　(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個矩形。

　　高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié) 5

　　1、函數(shù)：設(shè)A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，寫作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函數(shù)的值域。

　　2、函數(shù)定義域的解題思路：

　　⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。

　　⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于0。

　　⑶對數(shù)式的真數(shù)必須大于0。

　　⑷指數(shù)對數(shù)式的底，不得為1，且必須大于0。

　　⑸指數(shù)為0時，底數(shù)不得為0。

　　⑹如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。

　　⑺實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義。

　　3、相同函數(shù)

　　⑴表達式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

　　⑵定義域一致，對應(yīng)法則一致。

　　4、函數(shù)值域的求法

　　⑴觀察法：適用于初等函數(shù)及一些簡單的由初等函數(shù)通過四則運算得到的函數(shù)。

　　⑵圖像法：適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。

　　⑶配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成y=(x-a)2+b的形式。

　　⑷代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測未知函數(shù)的值域。

　　5、函數(shù)圖像的變換

　　⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。

　　⑵伸縮變換：在x前加上系數(shù)。

　　⑶對稱變換：高中階段不作要求。

　　6、映射：設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的映射。

　　⑴集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

　　⑵集合A中的不同元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個。

　　⑶不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　7、分段函數(shù)

　　⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。

　　⑵各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。

　　⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。

　　8、復(fù)合函數(shù)：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A)，則，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

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　　1、函數(shù)的局部性質(zhì)——單調(diào)性

　　設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對應(yīng)定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個變量x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

　　⑴函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路

　　ⅰ在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。

　　ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾摰男问健?/p>

　　ⅲ判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調(diào)性。

　　⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

　　復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律為“同增異減”;多個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)原則“減偶則增，減奇則減”。

　　⑶注意事項

　　函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集，如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B，不能表示為A∪B。

　　2、函數(shù)的整體性質(zhì)——奇偶性

　　對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就為偶函數(shù);

　　對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就為奇函數(shù)。

　　⑴奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)