職高均值定理課件
均值定理又叫基本不等式，是高中數學學習中的一個非常重要的知識點，在日后的函數求最值問題中有十分頻繁的應用。以下是小編整理的職高均值定理課件，歡迎閱讀。
復習目標
1.掌握均值定理.
2.會用均值定理求最值和證明不等式.
3.會解不等式的應用題.
知識回顧
均值定理及重要不等式：
一.均值定理：
，其中當且僅當時取等號;
注：注意運用均值不等式求最值時的條件：
(1);(2)與的積是一個定值(正數);(3)當且僅當時取等號.
記憶時可記為一“正”、二“定”、三“等”.
二、重要不等式
(1);
(2)， 其中當且僅當時取等號.
三.例題精解
【例1】 (1)如果，則的最大值是 ;
(2)如果，則的最小值是 .
分析：兩題顯然都可以用均值定理求解.
解：(1)
當且僅當時，有最大值4.
(2)
當且僅當時，取最小值6.
【點評】(1)若，且(常數)，則;
(2)若，且(常數)，則.
【例2】 當時，求的最大值.
分析：由于為定值，且依題意有，故可用均值定理，求最值.
解：∵,∴
當且僅當, 即時，取最大值8.
【例3】當時，求函數的最小值.
分析： ，由于為定值，且依題知，故可用均值定理求最值.
解：∵，∴
當且僅當，即時，取最小值3.
【例4】求函數的最小值，下列解法是否正確?為什么?
解法一：
∴
解法二：，當，即時，
∴
答：以上兩種解法均有錯誤。解一錯在取不到“=”，即不存在使得;解二錯在不是定值(常數).
正確的解法是：
當且僅當，即時，
【點評】(1)用求最值時需要同時滿足如下三個條件：
①;
②為常數;
③“=”可取.
(2)注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等” .
(3)利用均值不等式求幾個正數和的最小值時，關鍵在于構造條件，使其積為常數.通常要通過添加常數、拆項(常常是拆低次的式子)等方式進行構造.
【例5】若正數滿足，求的最小值.
解：∵ ，
當且僅當，即時，取最小值.
【例6】將一塊邊長為的正方形鐵皮，剪去四個角(四個全等的正方形)，做成一個無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少?最大容積是多少?
解：設剪去的小正方形的邊長為
則其容積為
當且僅當即時，
所以當剪去的.小正方形的邊長為時，鐵盒的容積最大為.
同步訓練
1.為非零實數，那么不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
2.設則下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.如果>0，則≥ .
4.如果，則的最大值是 .
5.如果，則的最小值是 .
6.如果，則的最小值是 .
7.已知，函數的最小值是 .
8.已知，函數的最大值是 .
9.已知，函數的最大值是 .
10.已知，函數的最小值是 .
11.若，,，則的最大值是 .
12.當時，求的最小值, 并求此時的取值.
13.已知，求的最小值, 并求此時的取值.
14.已知：，求的最大值，并求此時的取值.
15.當時，求的最小值.
16.用鐵皮做圓柱形的密封式罐頭瓶，要求它的體積為定值V，問怎樣設計底面圓的半徑和它的高，才能使用料最省.
17.制作一個容積為的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和高各取多少時，用料最省?(不計加工時的損耗及接縫用料)
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