數學冪函數測試題
1．下列冪函數為偶函數的是()
A．y＝x12B．y＝3x
C．y＝x2D．y＝x－1
解析：選C.y＝x2，定義域為R，f(－x)＝f(x)＝x2.
2．若a＜0，則0.5a,5a,5－a的大小關系是()
A．5－a＜5a＜0.5aB．5a＜0.5a＜5－a
C．0.5a＜5－a＜5aD．5a＜5－a＜0.5a
解析：選B.5－a＝(15)a，因為a＜0時y＝xa單調遞減，且15＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.
3．設α∈{－1,1，12，3}，則使函數y＝xα的定義域為R，且為奇函數的所有α值為()
A．1,3B．－1,1
C．－1,3D．－1,1,3
解析：選A.在函數y＝x－1，y＝x，y＝x12，y＝x3中，只有函數y＝x和y＝x3的定義域是R，且是奇函數，故α＝1,3.
4．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n>(－13)n，則n＝________.
解析：∵－12<－13，且(－12)n>(－13)n，
∴y＝xn在(－∞，0)上為減函數．
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，
∴n＝－1或n＝2.
答案：－1或2
1．函數y＝(x＋4)2的遞減區間是()
A．(－∞，－4)B．(－4，＋∞)
C．(4，＋∞)D．(－∞，4)
解析：選A.y＝(x＋4)2開口向上，關于x＝－4對稱，在(－∞，－4)遞減．
2．冪函數的圖象過點(2，14)，則它的單調遞增區間是()
A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)
解析：選C.
冪函數為y＝x－2＝1x2，偶函數圖象如圖．
3．給出四個說法：
①當n＝0時，y＝xn的圖象是一個點；
②冪函數的圖象都經過點(0,0)，(1,1)；
③冪函數的圖象不可能出現在第四象限；
④冪函數y＝xn在第一象限為減函數，則n＜0.
其中正確的說法個數是()
A．1B．2
C．3D．4
解析：選B.顯然①錯誤；②中如y＝x－12的圖象就不過點(0,0)．根據冪函數的圖象可知③、④正確，故選B.
4．設α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，則使f(x)＝xα為奇函數且在(0，＋∞)上單調遞減的α的值的個數是()
A．1B．2
C．3D．4
解析：選A.∵f(x)＝xα為奇函數，
∴α＝－1，13，1,3.
又∵f(x)在(0，＋∞)上為減函數，
∴α＝－1.
5．使(3－2x－x2)－34有意義的x的取值范圍是()
A．RB．x≠1且x≠3
C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1
解析：選C.(3－2x－x2)－34＝143－2x－x23，
∴要使上式有意義，需3－2x－x2＞0，
解得－3＜x＜1.
6．函數f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是冪函數，且在x∈(0，＋∞)上是減函數，則實數m＝()
A．2B．3
C．4D．5
解析：選A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分別代入m2－2m－3＜0，經檢驗得m＝2.
7．關于x的'函數y＝(x－1)α(其中α的取值范圍可以是1,2,3，－1，12)的圖象恒過點________．
解析：當x－1＝1，即x＝2時，無論α取何值，均有1α＝1，
∴函數y＝(x－1)α恒過點(2,1)．
答案：(2,1)
8．已知2.4α＞2.5α，則α的取值范圍是________．
解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)為減函數．
答案：α＜0
9．把(23)－13，(35)12，(25)12，(76)0按從小到大的順序排列____________________．
解析：(76)0＝1，(23)－13＞(23)0＝1，
(35)12＜1，(25)12＜1，
∵y＝x12為增函數，
∴(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－13.
答案：(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－13
10．求函數y＝(x－1)－23的單調區間．
解：y＝(x－1)－23＝1x－123＝13x－12，定義域為x≠1.令t＝x－1，則y＝t－23，t≠0為偶函數．
因為α＝－23＜0，所以y＝t－23在(0，＋∞)上單調遞減，在(－∞，0)上單調遞增．又t＝x－1單調遞增，故y＝(x－1)－23在(1，＋∞)上單調遞減，在(－∞，1)上單調遞增．
11．已知(m＋4)－12＜(3－2m)－12，求m的取值范圍．
解：∵y＝x－12的定義域為(0，＋∞)，且為減函數．
∴原不等式化為m＋4＞03－2m＞0m＋4＞3－2m，
解得－13＜m＜32.
∴m的取值范圍是(－13，32)．
12．已知冪函數y＝xm2＋2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是減函數，求y的解析式，并討論此函數的單調性和奇偶性．
解：由冪函數的性質可知
m2＋2m－3＜0(m－1)(m＋3)＜0－3＜m＜1，
又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0.
當m＝0或m＝－2時，y＝x－3，
定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵－3＜0，
∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數，
又∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
∴y＝x－3是奇函數．
當m＝－1時，y＝x－4，定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x)－4＝1－x4＝1x4＝x－4＝f(x)，
∴函數y＝x－4是偶函數．
∵－4＜0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是減函數，
又∵y＝x－4是偶函數，
∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函數．
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