數(shù)學第四章《圓與方程》復習測試題
三、解答題
11.已知為圓上任意一點，點的坐標為(-2，3).
⑴求的最大值和最小值；
⑵若P()在圓上，求線段的長及直線的斜率.
考查目的：考查圓的方程的互化，直線的斜率，點和圓、直線和圓的位置關(guān)系及其運用.
答案：⑴，；⑵，.
解析：⑴圓的方程可化為，∴圓心的坐標為(2，7)，半徑，∴，∴，.
⑵∵點P()在圓上，∴，解得，∴點P的坐標為(4，5)，∴，.
12.設(shè)圓上的點A(2，3)關(guān)于直線的對稱點仍在圓上，且圓與直線相交的弦長為，求圓的方程.
考查目的：考查圓的方程及其性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系.
答案：圓的方程為或.
解析：設(shè)圓的方程為.∵圓上的點A(2，3)關(guān)于直線的對稱點仍在圓上，∴圓心在上，∴①.
∵圓被直線截得的弦長為，∴②.
由點A(2，3)在圓上，得③.
聯(lián)立①②③，解得或
∴圓的方程為或.
13.已知圓C：內(nèi)有一點P(2，2)，過點P作直線交圓C于A、B兩點.
⑴當直線經(jīng)過圓心C時，求直線的方程；
⑵當弦AB被點P平分時，寫出直線的方程；
⑶當直線的傾斜角為時，求弦AB的長.
考查目的：考查直線與圓的位置關(guān)系，以及直線方程的求法.
答案：⑴；⑵；⑶.
解析：⑴已知圓C：的圓心為C(1，0).∵直線經(jīng)過點P、C，∴直線的斜率為2，直線的方程為，即.
⑵當弦AB被點P平分時，直線⊥PC，∴直線的方程為，即.
⑶當直線的傾斜角為時，斜率為1，直線的方程為，即.又∵圓心C(1，0)到直線：的距離為，圓C的半徑為3，∴弦AB的長為.
14.已知圓P：與以原點為圓心的圓Q關(guān)于直線對稱.
⑴求的值；
⑵若兩圓的交點為A、B，求∠AOB的度數(shù).
考查目的.：考查直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系及其綜合應(yīng)用.
答案：⑴；⑵.
解析：⑴圓P：的方程可寫成.
∵圓P：和以原點為圓心的圓Q關(guān)于直線對稱，
∴直線是以兩圓圓心P、Q為端點的線段的垂直平分線，
∴，解得.
∵點(0，0)與(-4，2)的中點(-2，1)在直線上，∴，解得.
⑵圓心P(-4，2)到的距離為，
又∵圓P的半徑為，∴，由得.
15.(2008江蘇)設(shè)平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)的圖像與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C.求：
⑴求實數(shù)的取值范圍；
⑵求圓C的方程；
⑶問圓C是否經(jīng)過某定點(其坐標與無關(guān))？請證明你的結(jié)論.
考查目的：考查二次函數(shù)圖像和性質(zhì)、圓的方程的求法.
答案：⑴且；⑵；⑶圓C必過定點(0，1)，(-2，1).
解析：⑴∵圓C經(jīng)過二次函數(shù)圖象與坐標軸的三個交點，∴.令，得拋物線與軸的交點是(0，).令，得，此時，解得.∴實數(shù)的取值范圍是且.
⑵設(shè)所求圓的一般方程為.令，得，這與是同一個方程，∴，.令，得，此方程有一個根為，代入得.∴圓C的方程為.
⑶圓C過定點，證明如下：假設(shè)圓C經(jīng)過定點.將該點坐標代入圓C的方程，并變形得①.①式對所有滿足且的實數(shù)都成立，必須且，解得或.經(jīng)檢驗知，點(0，1)，(-2，1)均在圓C上，∴圓C經(jīng)過定點.
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