forget to do sth與forget doing sth的區別只有一個：
1、forget to do sth 意思是“忘記要去做某事”，指的是這件事情本來要做，但是忘記了而沒有去做。例如：
I forgot to close the windows this morning. 今天早上，我忘記關窗戶了。（窗戶沒關）
He forgot to turn off the lights when he left the classroom. 他離開教室的時候，忘記了關燈。（燈沒有關）
2、forget doing sth意思是“忘記做了某事”，指的是這件事情本來做了，但是忘記了而以為沒做。例如：
I forgot paying for this book. 我忘了已經付過這本書的錢。（之前已經付過錢了）
She forgot locking the door. 她忘了已鎖了門。（門之前已經上鎖了）